Хорхе Луис Борхес

Аватары черепахи

Существует понятие, искажающее и обесценивающее другие понятия. Речь идет не о Зле, чьи владения ограничены этикой; речь идет о бесконечности. Однажды я загорелся составлением истории ее жизни. Ее храм должна была удачно обезобразить многоголовая Гидра (омерзительное чудовище, прообраз или знак геометрических прогрессий); здание увенчали бы зловещие кошмары Кафки [1], а в центральных колоннах узнавалась бы гипотеза того далекого немецкого кардинала – Николая Кребса, Николая Кузанского [2], – считавшего окружность многоугольником с бесконечным числом сторон и записавшего, что бесконечная линия может быть прямой, треугольником, кругом и сферой («De docta ignorantia», 1, 13). Быть может, лет пять – семь метафизических, богословских и математических штудий и способствовали бы подготовке солидного труда. Нужно ли напоминать, что жизнь не оставляет мне ни такой надежды, ни даже такого прилагательного.

Моя заметка в каком-то смысле принадлежит воображаемой «Биографии бесконечного». Ее цель – обозначить некоторые аватары второго парадокса Зенона.

А теперь обратимся к парадоксу.

Ахиллес бегает в десять раз быстрее черепахи; он дает ей фору в десять метров. Ахиллес пробегает эти десять метров, черепаха – один метр; Ахиллес пробегает этот метр, черепаха – дециметр; Ахиллес пробегает дециметр, черепаха – сантиметр; Ахиллес пробегает сантиметр, черепаха – миллиметр; и этот миллиметр пробегает Ахиллес Быстроногий, но черепаха успевает пройти десятую долю миллиметра, и так далее, так и не догоняя… Такова общепринятая версия. Вильгельм Капель («Die Vorsokratiken» [3], 1935, с. 178) переводит с аристотелевского оригинала: «Второй аргумент – так называемый „Ахиллес“. Он гласит, что самый быстрый бегун не догонит самого медленного, так как необходимо, чтобы догоняющий прежде достиг той точки, откуда стартовал убегающий, поэтому медленный бегун по необходимости всегда должен быть чуть впереди». Как видим, условие не меняется; но все же хотелось бы знать, как звали того поэта, который ввел героя и черепаху. Ведь сюжет обязан своей популярностью именно этим чудесным соперникам и ряду:

Почти никто не помнит другой, ему предшествующий сюжет – о беговой дорожке, хотя их схемы идентичны. Движение невозможно (заявляет Зенон), ибо для достижения цели движущийся объект должен пересечь половину расстояния, а до того – половину половины, а еще раньше – половину той половины, а перед тем… [4]

Сообщением и первым опровержением этих доказательств мы обязаны перу Аристотеля. Аристотель оспаривает их кратко (возможно, брезгливо), однако память о них подсказывает ему знаменитый аргумент «третьего человека» [5] против платоновской доктрины. Согласно доктрине, две особи, обладающие общими признаками (допустим, два человека), – это самые обыкновенные и преходящие подобия вечного архетипа. Аристотель задается вопросом, есть ли у людей и человека – преходящих особей и архетипа – общие признаки. Разумеется, да; они обладают общечеловеческими признаками. Тогда, утверждает Аристотель, следует определить второй архетип, их объединяющий, а затем третий… В примечании к выполненному им переводу «Метафизики» Патрисио де Аскарате приписывает одному ученику Аристотеля следующее утверждение: «Если то, что утверждается о многом, есть в то же время нечто отдельное, отличное от того, о чем утверждается (именно так и рассуждают платоники), должен существовать некто третий. Это определение применяют к видам и к идее. Таким образом, существует некто третий, отличный от конкретных видов и идеи. В то же время существует некто четвертый, находящийся в той же связи с третьим и с идеей конкретных видов. Затем пятый, и так до бесконечности». Возьмем два вида, а и b, входящих в род с. Тогда имеем:

Но по Аристотелю, верно также:

Строго говоря, не нужно и двух видов; достаточно одного вида и рода, чтобы определить третьего человека, заявленного у Аристотеля. Зенон Элейский обращается к бесконечной регрессии, дабы опровергнуть движение и число; его оппонент – дабы опровергнуть универсальные формы [6].

Следующая аватара Зенона, отмеченная в моих разрозненных заметках, – скептик Агриппа [7]. Он отрицает возможность любого доказательства, ибо оно требует предварительного доказательства (Hypotyposes [8], I, 166). Сходным образом Секст Эмпирик утверждает, что определения бессмысленны, поскольку вначале следовало бы определить понятия, входящие в определения, следовательно, определить определение (Hypotyposes, H, 207). Спустя тысяча, шестьсот лет в посвящении к «Дон Жуану» Байрон напишет о Колридже: «I wish he would explain His Explanation» [9].

До сих пор regressus in infinitum [10] служил для отрицания; святой Фома Аквинский прибегает к нему (Summa Theolоgica [11] 1, 2, 3) для доказательства бытия Божия. Он говорит: в мире нет ничего, что не имело бы своей первоначальной причины, а эта причина, ясное дело, – следствие другой, ей предшествующей причины. Мир – это нескончаемая цепь причин, и каждая причина – это следствие. Каждое состояние происходит из предыдущего состояния и определяет последующее, однако весь ряд может быть фикцией, поскольку члены, его образующие, условны, или, скажем так, случайны. Мир, разумеется, существует; отсюда можно вывести неслучайную первопричину, которая и будет Богом. Таково космологическое доказательство; оно предвосхищается у Аристотеля и Платона; Лейбниц открывает его заново.

Герман Лотце ссылается на regressus [12], с тем чтобы не согласиться, будто изменение объекта А может повлечь за собой изменение объекта В. Он считает, что, если А и В независимы, утверждать воздействие А на В – значит утверждать третий элемент С, которому, в свою очередь, для того чтобы влиять на В, потребуется четвертый элемент – D, воздействие которого невозможно без Е, воздействие которого невозможно без F… Дабы уйти от этих множащихся призраков, он решает, что в мире есть лишь один объект: бесконечная и абсолютная субстанция, сравнимая с Богом Спинозы [13]. Преходящие причины сводятся к имманентным; события – к проявлениям либо ипостасям космической субстанции [14].

Аналогичен – однако и более жуток – случай Ф. Г. Брэдли. Этому мыслителю («Appearance and Reality» [15], 1897, с. 19 – 34) мало опровергнуть причинные отношения, он отрицает возможность любых отношений. Он спрашивает, обусловлены ли отношения своими понятиями. Ему отвечают, что да, а это означает, что существуют два других отношения и затем еще два. В аксиоме «часть меньше целого» он видит не два понятия и отношение «меньше»; он видит три («часть»; «меньше»; «целое»), причем отношения между ними подразумевают два других отношения, и так до бесконечности. В суждении «Хуан – существо смертное» он видит четыре несочетаемых понятия (четвертое – опущенная связка), которые нам никогда друг с другом не согласовать. Все понятия он превращает в изолированные, непроницаемые объекты. Опровергать его все равно что унижаться до нереальности.

Лотце располагает периодические провалы Зенона меж причиной и следствием; Брэдли – меж подлежащим и сказуемым, если не меж подлежащим и его определениями; Льюис Кэррол («Mind» [16], т. 4, с. 278) – меж второй посылкой силлогизма и заключением. Он передает бесконечный диалог, собеседники которого – Ахиллес и черепаха. Достигнув финиша на нескончаемых бегах, атлеты мирно беседуют о геометрии. Они изучают стройное умозаключение:

a) две вещи, тождественные третьей, тождественны меж собой;

b) обе стороны данного треугольника тождественны MN;,

z) обе стороны данного треугольника тождественны меж собой.

Черепаха принимает посылки а и b, но отказывается признать, что из них следует приведенное умозаключение.

Тогда Ахиллес вводит условную посылку:

а) две вещи, тождественные третьей, тождественны меж собой;

b) обе стороны данного треугольника тождественны MN;

c) если а и b истинно, z истинно;

z) обе стороны данного треугольника тождественны меж собой.

После краткого разъяснения черепаха соглашается с истинностью a, b и с, но отвергает z. Разгневанный Ахиллес добавляет:

d) если a, b и с истинно, z истинно.

По Кэрролу, парадокс грека приводит к бесконечному ряду убывающих расстояний, а в его парадоксе расстояния возрастают.

Последний пример наиболее изящен и наименее отличен от зеноновского. Вильям Джеймс (Some Problems of Philosophy [17]. 1911, с. 182) отрицает, что может пройти четырнадцать минут, поскольку до этого пройдут семь, а до семи – три с половиной, а до трех с половиной – минута и три четверти, и так до конца, до неуловимого конца, затерянного в тончайших лабиринтах времени.

У Декарта, Гоббса, Лейбница, Милля, Ренувье, Георга Кантора, Гомперца, Рассела и Бергсона приведены различные толкования – далеко не всегда заумные и пустые – парадокса о черепахе. (Некоторые из них я воспроизвел.) Как читатель заметил, нет недостатка и в сфере их применения. Историей дело не ограничивается. Пожалуй, захватывающая regressus применима во всех сферах. В эстетике: такое-то стихотворение трогает нас по такому-то поводу, такой-то повод – по такому-то другому поводу… В проблеме познания: знание означает узнавание, но для узнавания необходимо предшествующее знание, а ведь знание подразумевает узнавание… Как осмыслить такое противоречие? Что это, законный метод исследования или всего только порочная традиция?